●平面応力と平面ひずみ(図2)
　両者とも平面ですから、平面応力と平面ひずみ共に板を想定し、その板の平面内の変形について解析します。 ですから、板平面の法線方向の荷重はありません。
　両者の違いは、板の厚み方向の拘束の有無にあります。拘束の無いのが平面応力であり、拘束のあるのが平面ひずみです。 平面応力では板厚み方向の変位はありますが、応力はゼロとなります。平面ひずみはこの逆です。
　平面ひずみの例としては、トンネル一部の上下方向荷重による変形解析などがあります。この場合、荷重の作用している部分 についてはトンネル長手方向に変形しようとしますが、荷重が作用していない部分が拘束の役割を果たすと見なし、 平面ひずみモデルとすることが出来ます。
　平面ひずみで注意することは、剛性マトリクスの中に1/(1-2ν)があり、ポアソン比νを0.5にすると無限大になりエラーとなります。 軸対称でも同じです。但し、平面応力の場合は、1/(1-ν*ν)ですから、そのような心配はありません。



図2　平面ひずみの例（トンネル）

●軸対称モデルと荷重(図3)
　軸対称では1周が均一であるという仮定をしています。これは変形後の形状も同じことです。ですから、 モデル図にて、ある節点に集中荷重をかけたことは、その荷重が全周長さで割られたものが分布荷重として全周に作用することになります。
尚、軸対称では、回転軸が左右方向ｘ＝0となります。そして、ｘ＝0の節点はｘ方向には動かないので、ｘ方向の拘束は不要です。

●対称モデルと荷重(図4)
　左右対称な構造の中央に集中荷重が作用する場合、もし1/2対称モデルとするなら、 中央の荷重も半分にする必要があります。その理由は、1/2対称モデルが半分の剛性しか持って いないからです。分布荷重の場合は、要素の長さに対応する分の荷重を作用させますから、 このようなことはありません。

●集中荷重と応力集中(図5)
　集中荷重の作用した点での応力は理論的には無限大になります。これは集中荷重の定義から して、面積のゼロな点に作用することからそうなります。FEMモデルでも集中荷重を受ける要素を 細かくしていくと同じことが次第に出てきます。集中荷重は1つの節点に作用させますから 荷重値は変わりませんが、その節点での剛性は要素を細かくするに従って小さくなります ので、応力は大きくなります。だからといってその応力を問題にするかどうかは目的に よります。現実に面積ゼロの点に荷重を作用させることはできませんし、荷重点の局部的な応力過大 の評価が目的でなければ問題にはなりません。

●強制変位について
　強制変位とは、ここを、これだけ変形させたら、どれだけの応力が生じるかを調べるためのものです。 入力手順は、
・節点の指定
・変位の入力（ｘ、ｙ）
となります。

●温度設定について
　節点の温度を設定することで、熱膨張差や温度差による変形や応力を調べることができます。 入力手順は、
・節点の指定
・温度の入力
となります。

●2次要素について
　2次要素では1辺上に節点が3つあります。3つということは2次式y=ax^2+bx+cが表現できるという ことです。（3点あれば、a,b,cを決定可能）ですから、2次曲線な変形をする場合なら、わずか 1つだけの要素で100％表現できます。例えば、片持ちはりの先端に曲げモーメントMが作用する場合 の変位yは、y=(Mx^2)/2EIですので、僅か1つの要素でＯＫとなります。

●分割数と近似精度(図6.1と図6.2)
　片持ちはり+集中荷重のモデルで、長手方向の分割数近似精度との関係を調べてみます。 近似精度は解析結果と材料力学計算値との比とします。拘束は材料力学での仮定をできるだけ 順守するよう、拘束部での高さ変化を拘束しないようにします。
　解析条件は次の通り。
　・ヤング率：E=205GPa
　・ポアソン比ν：0.3
　・アスペクト比α：1
　・拘束条件：図6.1に示す。

　理論値は材料力学での変位δyと曲げ応力σとします。変位は、
　δy=(PL^3)/(3EI)[1+3/5*(1+ν)*α*α]-----(1)
　ここに、[ ]内の第二項はせん断による変形。一方、応力σは
　σ=PL/Z----(2)
　ここに、
　I：断面2次モーメント
　Z：断面係数
　ν：ポアソン比

　このように、少ない分割で高い近似精度を有しているのが2次要素の特徴です。1次 要素ではＬを20分割しても、2次要素の2分割までにはなりません。
　このような曲げでの、ｙ変位はｘに関して3次曲線ですので、直線である1次要素の 近似度は悪く、2次曲線が表現可能な2次要素の方が圧倒的に近似精度はいいといえます。
　また、ｘ応力のｙ方向の変化は1次であり、要素の応力近似式の次数は、要素の次数-1 ですので、2次要素では1次となり、要素1つで100％近似可能となります。

●アスペクト比と近似精度(図7.1と図7.2)
　アスペクト比とは要素の縦横比のことで、図7.1ではα＝ｄ/ｈです。一般に、アスペクト比α が大きくなると、近似精度が低下するので、できるだけ1に近くするように要素分割するよう、 心掛けているのではないでしょうか。確かに図7.1のAのように、荷重に対する剛性が極端に低い場合には 近似精度に影響してきます。その影響度を示したのが図7.2のグラフです。これは、図7.1Aの 片持ちはり（5分割）の長さを変えてアスペクト比を変えた時の近似精度を示しています。 黒色が変位、ピンクが応力の近似精度を示しています。応力が少し影響を受けているようですが それでも95％の近似精度ですので、アスペクト比が32程度でも実用上は問題にしなくていいと 思います。
　ところで、アスペクト比と近似精度の関係はどうして生じるかといいますと、けた落ちに よる外乱（荷重項）の発生が原因です。そのけた落ちですが、剛性マトリクス[K]内にはαの2乗に比例する 部分と反比例する部分とがあり、アスペクト比αが大きくなると、剛性方程式の前進消去の時に けた落ちが生じます。けた落ちですから、計算精度が高ければ、けた落ちもすくなくなります。 倍精度で計算していれば、図7.2のグラフ程度には収まってくれます。
　ただ、接着層を構造物として要素分割する場合のアスペクト比は 100を越え、流石に近似精度が心配になるかもしれませんが、心配することはありません。 図7.1のBのように、細長い要素が細長くない要素と接合していれば、例え外乱が生じても 全体剛性が大きいので影響は無視できるのです。ですから、接着層の場合など、アスペクト比 がいくら大きくなっても問題はありません。尚、このことはアスペクト比と近似精度との ことで、分割不十分で近似精度が劣化することとは別の話ですので、お間違えなく。

●隅のアールと近似精度
　隅をアール化する場合、細長い3角形は避けて下さい。細長い部分が応力最大の処になる場合は最悪です。 まともな値は出ません。4角形の辺を曲線にして隅をアールにして下さい。

●ミゼス応力について
　ミゼス応力とは、3軸応力状態での種々な応力をまとめ、1軸引っ張り試験から求めた材料強度 と直接比較できるようにしたものです。引っ張り試験では通常、真っ直ぐ引っ張り、引張応力として 、その材料強度を定義しています。しかし、実際の構造物では複数の荷重による3軸応力状態が普通です。 従って、主応力、ｘ応力、せん断応力といった応力では材料強度と比較できません。 材料の分子構造により、違いはありますが、金属では、このミゼス応力が材料強度と対比できる応力といえます。
　この他に、材料強度と比較できるようにしたものとして、主応力がありますが、これは直応力の最大を示すもので、 破壊との関係は少ないように思えます。例えば、周りから均一な圧力が作用した場合、ミゼス応力では、圧力値には 無関係に応力ゼロですが、主応力は圧力値に比例して大きくなります。このような場合、事実は応力ゼロですので、 主応力は不適となります。

●引張りと圧縮応力について
　一般の材料では圧縮の方が引張りより10倍ほども強度はあるようです。詳しいことは分りませんが、引張りでも圧縮でも ミゼス応力値は同じなので、破壊するかどうかの判定については、まず応力の種類が引張りかどうかを見定めてから行う 必要がありそうです。

●降伏点について
　鉄鋼を引張り試験機で引張っると、ひずみと応力とが比例する線形領域があり、その線形領域を越えると、 比例は少しあいまいだが荷重を除くと完全に元に戻る領域になる。（弾性は保持している）
　更に引っ張ると、結晶間の弱い結合が破壊され始め、降伏現象が生じる。結晶間では結晶方向が異なる結晶同士が結合するので、 いびつな結合となっており、結晶結合よりは弱い結合となっている。その為、この時点では、その弱い結合は壊れるが、新たな結合 が生まれるので、材料としては破壊している訳ではないようである。むしろ欠陥が整理されて、強くなっている。しかし、 新たな結合が生じるので、永久変形はしっかりと生じる。

●要素2分割の手順（図8.1、図8.2）
　形状編集画面（最下に説明）にて、2分割します。図8.1では目的の列には2つの要素があるので、2つとも クリック選択します。（尚、節点の表示は省略しています）

�@「形状変更＿要素2分割」メニューを選択
�A縦2つの要素をクリック（選択された要素はピンクになります）
�B要素以外の画面をダブルクリック
　これで、2つの要素は縦に2分割されました。横方向にも同様に2分割できます。この様にして、 目的の箇所を細分化して応力の近似精度を高めることができます。

●要素追加の手順（図9）
　形状編集画面（最下に説明）にて、要素を追加します。図9では3角形要素を追加しています。要素の 追加には、先立って節点の追加を行います。ここでは節点3つを追加します。（4角形の場合は5つ追加）
（尚、図9では無関係な節点の表示は省略しています）

�@「形状変更＿節点追加」メニューを選択
�Aおおよその位置をクリックし、次に図形表示画面の外の灰色の部分をクリック。
�B「形状変更＿要素追加」メニューを選択
�C要素を構成する6つの節点を選択。（4角形の場合は8つ）
　反時計方向にドラッグ選択します。最後は、画面をダブルクリック。
　これで、3角形要素1つが追加されました。この後、追加した節点の位置は節点移動メニューで 正しい位置に移動させます。中間節点は中間節点平均化メニューで中間位置にします。

●節点移動の手順（図10）
　形状編集画面（最下に説明）にて、節点群を移動します。（尚、節点の表示は省略しています）

�@「形状変更＿節点移動＿移動量」メニューを選択
�A目的の節点群をドラッグ選択し、最後は、画面をダブルクリック。
　角節点を移動すれば、中間節点は自動的に移動します。
�B移動量の問い合わせになりますので、x= ,y= にそれぞれ移動量をキーインします。
　ここではx=-10,y=0としておきます。
　これで、節点群が移動されました。この様にして、節点を増やさないで目的の箇所を細分化 して応力の近似精度を高めることができます。

●穴の作成手順（図11）
　形状編集画面（最下に説明）にて、穴を作成します。

�@「形状変更＿穴を作る」メニューを選択
�A穴中心座標を入力。
�B半径を入力。
　尚、穴ができない場合は穴周辺の要素分割を少し細かくしてから行なって下さい。

尚、形状編集画面への行き方は次の通り。
�@作業の選択画面にて入力データ編集を選択。--->編集・保存画面の表示
�A編集・保存画面にて、編集＿形状メニューを選択。